Тут всё Ясно

Для нахождения частного решения данного дифференциального уравнения, сначала найдем общее решение.

Пусть y = y(x). Запишем данное уравнение в виде:

y’’ - (y’)^2 + y’(y - 1) = 0

Заметим, что данное уравнение является уравнением Бернулли. Для его решения введем замену z = y’. Тогда уравнение примет вид:

z’ - z^2 + z(y - 1) = 0

z’ = z^2 - z(y - 1)

Решим данное уравнение методом разделения переменных:

dz / (z^2 - z(y - 1)) = dx

dz / (z^2 - zy + z) = dx

dz / z(z - y + 1) = dx

Разложим дробь на простейшие:

dz / z(z - y + 1) = A / z + B / (z - y + 1)

z = 0: A = 1

z - y + 1 = 0: B = 1

Тогда:

dz / z(z - y + 1) = 1/z - 1/(z - y + 1)

dz / z(z - y + 1) = 1/z - 1/(z - y + 1)

Интегрируем обе части уравнения:

ln|z| - ln|z - y + 1| = x + C

ln|z / (z - y + 1)| = x + C

z / (z - y + 1) = e^(x + C)

z = e^(x + C)(z - y + 1)

z = e^x * e^C * z - e^x * e^C * y + e^x * e^C

z - e^x * e^C * z = - e^x * e^C * y + e^x * e^C

(1 - e^x * e^C) * z = e^x * e^C - e^x * e^C * y

z = (e^x * e^C) / (1 - e^x * e^C) - y

Теперь найдем общее решение дифференциального уравнения:

y = ∫z dx

y = ∫((e^x * e^C) / (1 - e^x * e^C) - y) dx

y = e^C * ∫(e^x / (1 - e^x * e^C)) dx - y∫dx

y = e^C * ln|1 - e^x * e^C| - yx + D

Теперь, используя начальные условия y(0) = 2 и y'(0) = 2, найдем константы C и D:

y(0) = e^C * ln|1 - e^0 * e^C| - 0 + D = 2

e^C * ln|1 - e^C| + D = 2

y'(0) = e^C * e^0 / (1 - e^0 * e^C) - 2 = 2

e^C / (1 - e^C) - 2 = 2

Решив данную систему уравнений, найдем значения констант C и D, а затем подставим их в общее решение, чтобы получить частное решение дифференциального уравнения.